![[概率论与数理统计]笔记：2.4 常用的连续型分布](/0.jpg)
2.4 常用的连续型分布
均匀分布
定义
如果随机变量\(X\)的密度函数为
\[f(x)=
\left\{
\begin{align*}
&\frac{1}{b-a},\quad\quad a\le x\le b,\\
&0,\quad\quad\quad\quad else,
\end{align*}
\right.
\]
则称\(X\)服从\([a,b]\)上的均匀分布，记作\(X\sim U[a,b]\).
性质
\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx=1\)
矩形面积为1，因此区间\([a,b]\)上的常数必定为\(\frac{1}{b-a}\).
分布函数：
\[F(x)=
\left\{
\begin{align*}
& 0, \quad\quad\quad x & \frac{x-a}{b-a},\quad a\le x\le b,\\ & 1, \quad\quad\quad x>b, \end{align*} \right. \] 当\(a\le x\le b\)时， \[\begin{align*} F(x) &= \int_{-\infty}^xf(t)dt\\ &= \int_{-\infty}^af(t)dt+\int_a^xf(t)dt\\ &= \int_a^x\frac{1}{b-a}dt\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^x1dt\\ &= \frac{x-a}{b-a} \end{align*} \] 若\([c,d]\)是\([a,b]\)子区间，则\(P\{c\le X\le d\}=\int_c^d\frac{1}{b-a}dt=\frac{d-c}{b-a}\)。即概率与区间长度成正比。 数学期望：\(EX=\frac{a+b}{2}\) 证明： \[\begin{align*} EX &= \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\\ &= \int_a^bx\frac{1}{b-a}dx\\ &= \frac{1}{b-a}[\frac{1}{2}x^2]_a^b\\ &= \frac{1}{b-a}\times\frac{b^2-a^2}{2}\\ &= \frac{a+b}{2} \end{align*} \] 方差：\(DX=\frac{(b-a)^2}{12}\) 简略地证明： 相关知识点： \(DX=EX^2-(EX)^2\) 随机变量函数的数学期望(连续型)：\(\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\) \(b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)\) \[EX^2=\int_a^bx^2\frac{1}{b-a}dx=\frac{a^2+ab+b^2}{3} \] \[(EX)^2=(\frac{a+b}{2})^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \] \[DX=EX^2-(EX)^2=\frac{(a-b)^2}{12} \] 联系 几何概型 指数分布 定义 如果随机变量\(X\)的密度函数为 \[f(x)= \left\{ \begin{align*} &\lambda e^{-\lambda x},\quad\quad x\ge 0,\\ &0,\quad\quad\quad\quad x<0, \end{align*} \right. \] 其中\(\lambda>0\)为参数，则称\(X\)服从参数为\(\lambda\)的指数分布，记作\(X\sim e(\lambda)\). 分布函数 \[F(x)= \left\{ \begin{align*} &1-e^{-\lambda x},\quad\quad x\ge 0,\\ &0,\quad\quad\quad\quad x<0, \end{align*} \right. \] 数学期望 \[EX=\frac{1}{\lambda} \] 方差 \[DX=\frac{1}{\lambda^2} \] 性质 无记忆性：\(P\{X>r+s|X>s\}=P\{X>r\}\) 联系 指数分布与泊松分布之间的联系： 如果用参数为\(\lambda\)的泊松分布描述单位时间事件发生的次数，那么一次事件发生的等待时间便服从参数为\(\lambda\)的指数分布。 指数分布与几何分布之间的联系： 指数分布描述事件发生等待的时间（连续量） 几何分布描述事件发生等待的次数（离散量） 正态分布 定义 如果随机变量\(X\)的密度函数为 \[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad-\infty \] 其中\(\mu,\sigma\)为常数，且\(\sigma>0\)，则称\(X\)服从参数为\(\mu\)和\(\sigma^2\)的正态分布，记作\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). 分布函数 由于密度函数的原函数没有解析表达式，因而其分布函数（记作\(\varPhi(x)\)）不能表示为解析式。 \[\varPhi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \] 性质 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)dx=1\). 证明： 前置知识点：根据欧拉-泊松积分，有\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\) 👉泊松积分的两种计算方法 \[\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)dx &= \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma})^2}d(x-\mu) \\ &= \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma})^2}d(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi} \\ &= 1 \end{align*} \] 正态分布的密度函数的系数之所以这么复杂就是为了使其积分等于1. \(EX=\mu\) \(DX=\sigma^2\) \(\varphi(x)\)关于\(x=\mu\)对称，并在\(x=\mu\)处取得最大值\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\) 理解：密度函数的\(x\)位于右上角指数部分的\((x-\mu)^2\)，结合偶函数的性质，不难得出该函数图像关于\(x-\mu\)对称。 \(y=\varphi(x)\)以\(x\)轴为渐近线。 \(x=\mu\pm\sigma\)为拐点。 \(\sigma\)不变，\(\mu\)改变，图像左右平移。 \(\mu\)不变，\(\sigma\)改变，图像对称轴固定： \(\sigma\)变大，最高点下降，图像矮胖，变缓。 \(\sigma\)变小，最高点上升，图像高瘦，变陡。 标准正态分布 定义 当\(\mu=0,\sigma^2=1\)时，即\(X\sim N(0,1)\)，称\(X\)服从标准正态分布，其密度函数记作\(\varphi_0(x)\)，即 \[\varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \] 分布函数： \[\varPhi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt \] 通常计算概率的方法是： 将一般正态分布变换为标准正态分布。 查询标准正态分布表的概率值。 性质 密度函数图像关于\(y\)轴对称，是偶函数：\(\varphi_0(x)=\varphi_0(-x)\)。对于分布函数，有\(\varPhi_0(-x)=1-\varPhi_0(x)\). 一般正态分布与标准正态分布 设\(X\sim N(\mu,\sigma^2),Y=aX+b\)，\(a,b\)为常数，且\(a\ne 0\)，则\(Y\sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)\). 如果\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). 这里的\(Z\)称为\(X\)的标准化。 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)的充要条件是存在一个随机变量\(Z\sim N(0,1)\)，使得\(X=\sigma Z+\mu\). 设\(X\sim N(\mu,\sigma^2),\varPhi(x),\varphi(x)\)分别为其分布函数与密度函数，\(\varPhi_0(x),\varphi_0(x)\)是标准正态分布的分布函数和密度函数，则有 \[\varPhi(x)=\varPhi_0(\frac{x-\mu}{\sigma}),\\ \varphi(x)=\frac{1}{\sigma}\varphi_0(\frac{x-\mu}{\sigma}). \] 这里给出第二个式子的证明过程： 已知 \[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\\ \varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}. \] 则 \[\varphi(x)=\frac{1}{\sigma}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}{2}}=\frac{1}{\sigma}\varphi_0(\frac{x-\mu}{\sigma}) \] 证明完毕。 使用教材： 《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社